Авторы Колесникова Софья Ильинична
-
Место работы
кафедра высшей математики МФТИ
10 декабря 2018 г.
§9. Логарифмические неравенства
Пусть f(x)>0f(x)>0, f(x)f(x) непрерывна на (c;d)(c;d), тогда logaf(x)\textrm{log}_a{f(x)} тоже непрерывен на (c;d)(c;d), и для решения неравенства logaf(x)>0\textrm{log}_a{f(x)}>0 применим метод интервалов. При решении этого неравенства зна...
1 комментарий
64 просмотра
10 декабря 2018 г.
§7. Показательные неравенства
Рассмотрим неравенство af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}.
Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) - непрерывные функции на некотором промежутке XX, где задано число a>0a>0. Тогда af(x)a^{f(x)}, ag(x)a^{g(x)} - тоже непрерывны на XX и к неравенству af(x)>a...
1 комментарий
75 просмотров
10 декабря 2018 г.
§3. Показательные уравнения
Из монотонности показательной функции следует, что ax=ay⇔x=ya^x=a^y \Leftrightarrow x=y.
Из свойств показательной функции следует, что, если a>0a>0, a≠1a \neq 1, то простейшее показательное уравнение ax=ba^x=b при b≤0b \leq 0 не имеет...
75 просмотров
10 декабря 2018 г.
§4. Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на...
64 просмотра
10 декабря 2018 г.
§2. Логарифмирование и потенцирование
При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения f(x)=g(x)f(x)=g(x) по основанию aa (...
77 просмотров
10 декабря 2018 г.
§1. Введение
Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.
В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел aa и bb и любых действительных чисел α\alpha и β\beta справедливы свойства:
свойства
С1. a...
71 просмотр
9 июля 2018 г.
Введение
В нашем задании большую роль будет играть равносильность уравнений и систем. Поэтому коротко мы напомним основные понятия, связанные с этим.
Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Мы вспомним, прежде всего, метод интерв...
461 просмотр
6 июля 2018 г.
§5. Однородные уравнения и системы
Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`.
Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2` является однородной степени `4`, т. к.
`f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^...
352 просмотра
6 июля 2018 г.
§6. Симметрические системы
Функция `f(x,y)` называется симметрической, если `f(x,y) = f(y,x)`.
Система уравнений вида fx,y=agx,y=b\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=a\\g\left(x,y\right)=b\end{array}\right., где `f(x,y)`, `g(x,y)` - симметрические, называется симметри...
1 комментарий
387 просмотров
6 июля 2018 г.
§4. Системы уравнений
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
617 просмотров
6 июля 2018 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
403 просмотра
6 июля 2018 г.
§1. Равносильность уравнений и неравенств
В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности.
Два неравенства
`f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)`
(1)
или два уравнения
`f_1 (x) = g_1 (x)` ...
489 просмотров
6 июля 2018 г.
§2. Иррациональные неравенства
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
П...
479 просмотров
6 июля 2018 г.
Введение
Цель нашего задания - вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу - р...
332 просмотра
6 июля 2018 г.
11. Возвратные уравнения.
определение
Уравнение вида `ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0` называется возвратным.
Чтобы его решить, надо вынести за скобку `x^2`. Тогда выражение в скобке приведётся к квадратному уравнению относительно `x+-1/x`:
`ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0hArrx...
311 просмотров
6 июля 2018 г.
12. Задачи с параметром
Пример 21
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имеет ровно два различных решения.
Решение
Первый способ – решение «в лоб».
Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имел...
377 просмотров
6 июля 2018 г.
Уравнение вида `sqrt{ax+b}=cx+d`
Это уравнение можно решать стандартным способом. Но иногда ответить на поставленный вопрос помогает график. Уметь строить эскизы левой и правой частей уравнения `sqrt{ax+b}=cx+d` очень полезно. Графическая интерпретация решения такого уравнен...
398 просмотров
6 июля 2018 г.
Уравнения вида $$\sqrt{f(x)}=g(x)$$
При решении уравнений этого вида очень многие школьники, прежде всего, находят ОДЗ: `f(x)>=0`, затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют после нахождения решений условие `f(x)>=0` и успокаиваются. Ответ может оказаться неверн...
360 просмотров
6 июля 2018 г.
Уравнения вида `sqrt{f(x)}=sqrt{g(x)}`
В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат даёт равносильное в ОДЗ уравнение `f(x)=g(x)`. Поэтому
f(x)=g(x)⇔f(x)≥0,f(x)=g(x)⇔g(x)≥0,f(x)=g(x).\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow\left\{\begin...
377 просмотров
6 июля 2018 г.
5. Уравнения вида |f(x)| = g(x)
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
f(x)=g(x)⇔f(x)≥0,f(x)=g(x),f(x)<0,f(x)=-g(x).\begin{array...
1 комментарий
310 просмотров
6 июля 2018 г.
6, Уравнения вида |f(x)|=|g(x)|
Так как обе части уравнения неотрицательны, то
|f(x)|=|g(x)|⇔f2(x)=g2(x)⇔f2(x)-g2(x)==(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0⇒\begin{array}{l}\vert f(x)\vert=\vert g(x)\vert\Leftrightarrow f^2(x)=g^2(x)\Leftrightarrow f^2(x)-g^2(x)=\\=(f(x)-g(x)...
362 просмотра
6 июля 2018 г.
§4. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что
а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`,
б) квадрат двучлена `(x-a)^2`&nbs...
317 просмотров
6 июля 2018 г.
§3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним
На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0, a≠0.ax^2+bx+c=0,\;a\neq0.
x1,2=-b2±b24-aca.x_{1,2}=\dfrac{-{\displayst...
401 просмотр
5 июля 2018 г.
§1. Понятие равносильности уравнений и неравенств
Пусть на некоторых числовых множествах Х1, Х2Х_1,\;Х_2 заданы соответственно функции f(x), g(x)f(x),\;g(x) .
Определение
Отношения вида f(x)>g(x)f(x)\gt g(x), f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x), f(x)=g(x)f(x)=g(x) называю...
444 просмотра
28 декабря 2017 г.
§9. Логарифмические неравенства
Пусть f(x)>0f(x)>0, f(x)f(x) непрерывна на (c;d)(c;d), тогда logaf(x)\textrm{log}_a{f(x)} тоже непрерывен на (c;d)(c;d), и для решения неравенства logaf(x)>0\textrm{log}_a{f(x)}>0 применим метод интервалов. При решении этого неравенства зна...
236 просмотров
27 декабря 2017 г.
§7. Показательные неравенства
Рассмотрим неравенство af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}.
Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) - непрерывные функции на некотором промежутке XX, где задано число a>0a>0. Тогда af(x)a^{f(x)}, ag(x)a^{g(x)} - тоже непрерывны на XX и к неравенству af(x)>a...
940 просмотров
27 декабря 2017 г.
§4. Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на...
842 просмотра
26 декабря 2017 г.
§3. Показательные уравнения
Из монотонности показательной функции следует, что ax=ay⇔x=ya^x=a^y \Leftrightarrow x=y.
Из свойств показательной функции следует, что, если a>0a>0, a≠1a \neq 1, то простейшее показательное уравнение ax=ba^x=b при b≤0b \leq 0 не имеет...
1015 просмотров
26 декабря 2017 г.
§1. Введение
Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.
В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел aa и bb и любых действительных чисел α\alpha и β\beta справедливы свойства:
С1. aα...
709 просмотров
26 декабря 2017 г.
§2. Логарифмирование и потенцирование
При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения f(x)=g(x)f(x)=g(x) по основанию aa (...
1525 просмотров
Сообщение отправлено!
Сообщение не отправлено. Проверьте правильность введёных данных.