Авторы Колесникова Софья Ильинична

Место работы кафедра высшей математики МФТИ

Курсы(9)
Лекции(5)
Статьи(40)
Задать вопрос

Математика

Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства C 12 декабря 2019
по 9 января 2020

Лекций: 0 Учеников: 24

Математика

Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства C 12 декабря 2019
по 9 января 2020

Лекций: 0 Учеников: 2

Математика

Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств C 12 июля 2019
по 30 сентября 2019

Лекций: 0 Учеников: 2

Математика

Алгебраические уравнения и неравенства C 11 июля 2019
по 30 сентября 2019

Лекций: 0 Учеников: 3

Математика

Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства C 12 декабря 2018
по 9 января 2019

Лекций: 0 Учеников: 203

Математика

Алгебраические уравнения и неравенства C 4 октября 2018
по 25 января 2019

Лекций: 0 Учеников: 318

Математика

Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств C 4 октября 2018
по 25 января 2019

Лекций: 0 Учеников: 271

Математика

Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств C 12 июля 2018
по 30 сентября 2018

Лекций: 0 Учеников: 204

Математика

Алгебраические уравнения и неравенства C 11 июля 2018
по 30 сентября 2018

Лекций: 0 Учеников: 220

Лекторий ЗФТШ. Математика 11 класс. Показательные, логарифмические уравнения, системы, неравенства Колесникова Софья Ильинична 2125 просмотров

Лекторий ЗФТШ. М-11. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств Колесникова Софья Ильинична 2088 просмотров

Лекторий ЗФТШ. М-11. Показательные, логарифмические уравнения, системы, неравенства Колесникова Софья Ильинична 395 просмотров

Лекторий ЗФТШ. М-11. Показательные, логарифмические уравнения, системы, неравенства Колесникова Софья Ильинична 1 просмотр

Лекторий ЗФТШ. М-11. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств Колесникова Софья Ильинична 1 просмотр

10 декабря 2018 г. §9. Логарифмические неравенства Пусть f(x)>0f(x)>0, f(x)f(x) непрерывна на (c;d)(c;d), тогда logaf(x)\textrm{log}_a{f(x)} тоже непрерывен на (c;d)(c;d), и для решения неравенства logaf(x)>0\textrm{log}_a{f(x)}>0 применим метод интервалов. При решении этого неравенства зна... 1 комментарий 64 просмотра

10 декабря 2018 г. §10. Неравенства для логарифмов с переменным основанием Рассмотрим неравенство loga(x)f(x)>0\textrm{log}_{a(x)}{f(x)}>0, где a(x)a(x), f(x)f(x) непрерывны на промежутке XX. ОДЗ: a(x)>0,a≠1,f(x)>0a(x)>0, a\neq 1, f(x)>0. Оказывается, что и в этом случае (УР Л8) Знак фун... 84 просмотра

10 декабря 2018 г. §7. Показательные неравенства Рассмотрим неравенство af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}. Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) - непрерывные функции на некотором промежутке XX, где задано число a>0a>0. Тогда af(x)a^{f(x)}, ag(x)a^{g(x)} - тоже непрерывны на XX и к неравенству af(x)>a... 1 комментарий 75 просмотров

10 декабря 2018 г. §8. Неравенства вида $$a(x)^{f(x)} \gt a(x)^{g(x)}$$ Рассмотрим неравенство a(x)f(x)>a(x)g(x)a(x)^{f(x)}>a(x)^{g(x)}, где a(x),f(x),g(x)a(x), f(x), g(x) - непрерывные функции. ОДЗ: a(x)>0a(x)>0. Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в качестве cc число ee (можно взять любое допу... 70 просмотров

10 декабря 2018 г. §5. Сложная экспонента. Уравнение вида $$a(x)^{f(x)} = a(x)^{g(x)} $$ Рассмотрим выражение y(x)=a(x)f(x)y(x)=a(x)^{f(x)}. Что это за функция, какова ее область определения? По определению, полагают, для любого c>0c>0, c≠1c\neq 1, a(x)>0a(x)>0 a(x)b(x)=cb(x)logca(x)a(x)^{b(x)} ... 1 комментарий 68 просмотров

10 декабря 2018 г. §6. Логарифмы с переменным основанием. Уравнения вида $$\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}$$ Рассмотрим выражение y(x)=logaxf(x)y(x) = \textrm{log}_a{x}{f(x)}. По определению, для любого c>0c>0, c≠1c \neq 1 loga(x)fx=logcf(x)logca(x){\text{log}}_{a(x)}f\left(x\right)=\frac{{\text{log}}_c{f(x)}}{{\text{log}}_c{a(x)... 2 комментария 69 просмотров

10 декабря 2018 г. §3. Показательные уравнения Из монотонности показательной функции следует, что ax=ay⇔x=ya^x=a^y \Leftrightarrow x=y. Из свойств показательной функции следует, что, если a>0a>0, a≠1a \neq 1, то простейшее показательное уравнение ax=ba^x=b при b≤0b \leq 0 не имеет... 75 просмотров

10 декабря 2018 г. §4. Логарифмические уравнения Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на... 64 просмотра

10 декабря 2018 г. §2. Логарифмирование и потенцирование При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения f(x)=g(x)f(x)=g(x) по основанию aa (... 77 просмотров

10 декабря 2018 г. §1. Введение Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций. В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел aa и bb и любых действительных чисел α\alpha и β\beta справедливы свойства: свойства С1. a&#... 71 просмотр

9 июля 2018 г. Введение В нашем задании большую роль будет играть равносильность уравнений и систем. Поэтому коротко мы напомним основные понятия, связанные с этим. Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Мы вспомним, прежде всего, метод интерв... 461 просмотр

6 июля 2018 г. §5. Однородные уравнения и системы Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`. Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2` является однородной степени `4`, т. к. `f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^... 352 просмотра

6 июля 2018 г. §6. Симметрические системы Функция `f(x,y)` называется симметрической, если `f(x,y) = f(y,x)`. Система уравнений вида fx,y=agx,y=b\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=a\\g\left(x,y\right)=b\end{array}\right., где `f(x,y)`, `g(x,y)` - симметрические, называется симметри... 1 комментарий 387 просмотров

6 июля 2018 г. §4. Системы уравнений 1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и... 617 просмотров

6 июля 2018 г. §3. Неравенства, содержащие модуль В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна... 403 просмотра

6 июля 2018 г. §1. Равносильность уравнений и неравенств В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности. Два неравенства `f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)` (1) или два уравнения `f_1 (x) = g_1 (x)` ... 489 просмотров

6 июля 2018 г. §2. Иррациональные неравенства Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ. П... 479 просмотров

6 июля 2018 г. Введение Цель нашего задания - вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу - р... 332 просмотра

6 июля 2018 г. 11. Возвратные уравнения. определение Уравнение вида `ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0` называется возвратным. Чтобы его решить, надо вынести за скобку `x^2`. Тогда выражение в скобке приведётся к квадратному уравнению относительно `x+-1/x`: `ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0hArrx... 311 просмотров

6 июля 2018 г. 12. Задачи с параметром Пример 21 Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имеет ровно два различных решения. Решение Первый способ – решение «в лоб». Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имел... 377 просмотров

6 июля 2018 г. Уравнение вида `sqrt{ax+b}=cx+d` Это уравнение можно решать стандартным способом. Но иногда ответить на поставленный вопрос помогает график. Уметь строить эскизы левой и правой частей уравнения `sqrt{ax+b}=cx+d` очень полезно. Графическая интерпретация решения такого уравнен... 398 просмотров

6 июля 2018 г. Уравнения вида $$\sqrt{f(x)}=g(x)$$ При решении уравнений этого вида очень многие школьники, прежде всего, находят ОДЗ: `f(x)>=0`, затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют после нахождения решений условие `f(x)>=0` и успокаиваются. Ответ может оказаться неверн... 360 просмотров

6 июля 2018 г. Уравнения вида `sqrt{f(x)}=sqrt{g(x)}` В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат даёт равносильное в ОДЗ уравнение `f(x)=g(x)`. Поэтому f(x)=g(x)⇔f(x)≥0,f(x)=g(x)⇔g(x)≥0,f(x)=g(x).\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow\left\{\begin... 377 просмотров

6 июля 2018 г. Уравнения вида $$\alpha^2\sqrt{x+a}+\beta^2\sqrt{x+b}=\mathbf{const}.$$ Монотонность Пример 14 Решите уравнение 2x-3+4x+1=4.\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4. Решение Функция монотонно возрастает на всей области определения – любая горизонтальная прямая, если пересекает график, то только один раз. Этим и воспользуемся. ... 408 просмотров

6 июля 2018 г. 5. Уравнения вида |f(x)| = g(x) Решают такие уравнения по-разному. Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`. f(x)=g(x)⇔f(x)≥0,f(x)=g(x),f(x)<0,f(x)=-g(x).\begin{array... 1 комментарий 310 просмотров

6 июля 2018 г. 6, Уравнения вида |f(x)|=|g(x)| Так как обе части уравнения неотрицательны, то |f(x)|=|g(x)|⇔f2(x)=g2(x)⇔f2(x)-g2(x)==(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0⇒\begin{array}{l}\vert f(x)\vert=\vert g(x)\vert\Leftrightarrow f^2(x)=g^2(x)\Leftrightarrow f^2(x)-g^2(x)=\\=(f(x)-g(x)... 362 просмотра

6 июля 2018 г. §4. Рациональные неравенства. Метод интервалов. В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`, б) квадрат двучлена `(x-a)^2`&nbs... 317 просмотров

6 июля 2018 г. §2. Система уравнений и неравенств.совокупность уравнений и неравенств. Пусть задано неравенствоf(x)>g(x)f(x) > g(x) . По определению, неравенство выполнено, если разность функций f(x)-g(x)>0f(x)-g(x) > 0. Поэтому, за редким исключением, неравенства будем решать “сравнением с нулём” и записыва... 353 просмотра

6 июля 2018 г. §3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0, a≠0.ax^2+bx+c=0,\;a\neq0. x1,2=-b2±b24-aca.x_{1,2}=\dfrac{-{\displayst... 401 просмотр

5 июля 2018 г. §1. Понятие равносильности уравнений и неравенств Пусть на некоторых числовых множествах Х1, Х2Х_1,\;Х_2 заданы соответственно функции f(x), g(x)f(x),\;g(x) . Определение Отношения вида f(x)>g(x)f(x)\gt g(x), f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x), f(x)=g(x)f(x)=g(x) называю... 444 просмотра

28 декабря 2017 г. §10. Неравенства для логарифмов с переменным основанием Рассмотрим неравенство loga(x)f(x)>0\textrm{log}_{a(x)}{f(x)}>0, где a(x)a(x), f(x)f(x) непрерывны на промежутке XX. ОДЗ: a(x)>0,a≠1,f(x)>0a(x)>0, a\neq 1, f(x)>0. Оказывается, что и в этом случае Знак функции loga(x)f... 59 просмотров

28 декабря 2017 г. §9. Логарифмические неравенства Пусть f(x)>0f(x)>0, f(x)f(x) непрерывна на (c;d)(c;d), тогда logaf(x)\textrm{log}_a{f(x)} тоже непрерывен на (c;d)(c;d), и для решения неравенства logaf(x)>0\textrm{log}_a{f(x)}>0 применим метод интервалов. При решении этого неравенства зна... 236 просмотров

28 декабря 2017 г. §8. Неравенства вида $$a(x)^{f(x)} \gt a(x)^{g(x)}$$ Рассмотрим неравенство a(x)f(x)>a(x)g(x)a(x)^{f(x)}>a(x)^{g(x)}, где a(x),f(x),g(x)a(x), f(x), g(x) - непрерывные функции. ОДЗ: a(x)>0a(x)>0. Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в качестве cc число ee (можно взять любое допу... 874 просмотра

27 декабря 2017 г. §7. Показательные неравенства Рассмотрим неравенство af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}. Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) - непрерывные функции на некотором промежутке XX, где задано число a>0a>0. Тогда af(x)a^{f(x)}, ag(x)a^{g(x)} - тоже непрерывны на XX и к неравенству af(x)>a... 940 просмотров

27 декабря 2017 г. §6. Логарифмы с переменным основанием. Уравнения вида $$\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}$$ Рассмотрим выражение y(x)=logaxf(x)y(x) = \textrm{log}_a{x}{f(x)}. По определению, для любого c>0c>0, c≠1 c \neq 1 \:\:\: loga(x)=logcf(x)logca(x)\fbox{ \textrm{log}_{a(x)} = \dfrac{\textrm{log}_c{f(x)}}{\text... 1031 просмотр

27 декабря 2017 г. §5. Сложная экспонента. Уравнение вида $$a(x)^{f(x)} = a(x)^{g(x)} $$ Рассмотрим выражение y(x)=a(x)f(x)y(x)=a(x)^{f(x)}. Что это за функция, какова ее область определения? По определению, полагают, для любого c>0c>0, c≠1c\neq 1, a(x)>0 a(x)>0 \:\:\:\:\: a(x)b(x... 1492 просмотра

27 декабря 2017 г. §4. Логарифмические уравнения Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на... 842 просмотра

26 декабря 2017 г. §3. Показательные уравнения Из монотонности показательной функции следует, что ax=ay⇔x=ya^x=a^y \Leftrightarrow x=y. Из свойств показательной функции следует, что, если a>0a>0, a≠1a \neq 1, то простейшее показательное уравнение ax=ba^x=b при b≤0b \leq 0 не имеет... 1015 просмотров

26 декабря 2017 г. §1. Введение Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций. В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел aa и bb и любых действительных чисел α\alpha и β\beta справедливы свойства: С1. aα... 709 просмотров

26 декабря 2017 г. §2. Логарифмирование и потенцирование При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения f(x)=g(x)f(x)=g(x) по основанию aa (... 1525 просмотров

Сообщение отправлено!

Сообщение не отправлено. Проверьте правильность введёных данных.

Имя *

Полное имя и фимилия, например, Пётр Иванов

E-mail *

Телефон

Мобильный телефон в формате +7-925-000-00-00

Сообщение *

Кратко и лаконично сформулируйте возникшие вопросы или предложение