Авторы Городецкий Сергей Евгеньевич
-
Квалификация
Кандидат физико-математических наук, председатель предметной комиссии по математике олимпиады «Физтех», специалист ЗФТШ при МФТИ
-
Место работы
Кафедра высшей математики МФТИ
6 ноября
§3. Неравенства с модулем
Простейшие неравенства решаются с помощью свойств модуля.
Пример 5
Решите неравенство:
а) `|x-2|>=-1`;
б) `|x-4|<-2`;
в) `|1-x|<=4`;
г) `|3+x|>5`.
Решение
а) `|x-2|>=0>-1` - верно ...
39 просмотров
6 ноября
§4. Построение графиков функций
График квадратичной функции `y=ax^2+bx+c` (где `a!=0`) - парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаётся формулой `x_B=-b/(2a)`. Если `a>0`, то ветви параболы направлены вверх, если `a<0` - вниз.
Если дискриминант квадратного трёхчл...
85 просмотров
6 ноября
§1. Свойства модуля. Уравнения с модулем
Напомним определение модуля числа:
\[ |a| = \left\{ \begin{aligned} a \text{, если } & a \ge 0, \\ -a \text{, если } & a < 0 \end{aligned} \right. \]
Отметим следующие свойства модуля, вытекающие непосредственно из определения.
...
41 просмотр
6 ноября
§2. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
Напомним, что дробь называют рациональной, если она представляет собой отношение многочленов (например, `(2x-1)/(x^2+3)`, `(5x^3)/(1-x)` и т. д.). Если обе части неравенства являются суммами рациональных дробей и многочленов, то такие неравенства назыв...
43 просмотра
14 августа
§ 4. Некоторые приёмы решения алгебраических уравнений
Нам уже известны формулы для решения квадратных уравнений. А что делать, если встретится уравнение более высокой степени? Оказывается, что для уравнений третьей и четвёртой степени есть формулы, позволяющие найти корни (но они редко исполь...
1 комментарий
350 просмотров
14 августа
§3. Многочлены
Многочленом с одной переменной называется выражение вида
`P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) +a_(n-2) x^(n-2) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`. (8)
Числа `a_0`, `a_1`, `...`, `a_n` - э...
203 просмотра
14 августа
§1. Введение
Вспомним некоторые понятия и определения, изученные вами в восьмом классе.
Число aa называется решением (или корнем) уравнения, если при его подстановке в уравнение вместо неизвестной уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение –...
226 просмотров
16 апреля
Текстовые задачи
Текстовые задачи отличаются большим разнообразием: задачи на движение, на совместную работу, на смеси, на проценты и пр. Как правило, при решении текстовых задач мы вводим одну или несколько переменных, а затем составляем уравнение или систему ур...
1535 просмотров
29 марта
§5. Высказывания. Операции над высказываниями
Под высказыванием понимают всякое утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.
Например:
1. Днепр впадает в Каспийское море.
2. Уравнение `x^2+6x+18=0` не имеет решений.
3. Муха – это земноводное.
Очеви...
638 просмотров
28 марта
*§4. Эквивалентность множеств. Счётные и несчётные множества
Любые два конечных множества можно сравнивать по количеству элементов в них. Действительно, для этого достаточно перечислить элементы каждого из них. Например, `A={1,3,5,7,9}`, `B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}`. Очевидно, что `m(A)<m(B)`, т. к. `m(A)=5`, `m...
1569 просмотров
28 марта
§3. Конечные множества
Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов.
Пусть `A` – некоторое конечное множество. Обозначим через `m(A)` количество элементов в множестве `A`. Например, если
`A={x in RR | x^2-1=0}`, то `m(...
636 просмотров
25 февраля
§4. Алгебраические уравнения
1. Квадратные уравнения. В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения
ax2+bx+c=0, a≠0, (13)ax^2+bx+c=0,\: a\neq 0, \:\:\:\:\:\: (13)
с действительными коэффициентами aa, bb...
1260 просмотров
9 февраля
§4. Графические методы решения задач с параметрами
Пример 25
Для каждого значения параметра aa решите неравенство |2x+a|≤x+2|2x+a| \leq x+2.
Решение
Сначала решим вспомогательную задачу. Рассмотрим данное неравенство как неравенство с двумя переменными xx и aa и изобразим на координат...
1371 просмотр
8 февраля
§2. Квадратные уравнения и неравенства с параметром
Многие задачи с параметром сводятся к исследованию квадратного трёхчлена, поэтому рассмотрим эти задачи подробнее.
I. При решении простейших задач бывает достаточно формулы для корней квадратного уравнения и теоремы Виета.
Пример 7
При каких зна...
2440 просмотров
8 февраля
§1. Простейшие задачи с параметром
Наиболее часто встречаются следующие формулировки задач с параметром:а) для каждого значения параметра (параметров) решить уравнение (неравенство, систему);б) найти все значения параметра (параметров), при каждом из которых решения удовлетворяют некото...
1619 просмотров
10 января
4. Симметрические системы
Многочлен с двумя переменными `F(x,y)` называется симметрическим, если `F(x,y)=F(y,x)`. Иными словами, многочлен является симметрическим, если он не изменяется, когда переменные `x` и `y` меняются местами. Например, многочлены `x^3+y^3`; `xy-590`; `2x^...
1584 просмотра
10 января
3. Системы, сводящиеся к решению однородного уравнения
Уравнения вида `P(x,y)=0`, где `P(x,y)` - многочлен с двумя переменными `x` и `y`, называются однородными относительно `x` и `y`, степени `k`, если в каждом из членов сумма степеней `x` и `y`, одинакова и равна `k`. Например, уравнение `x^2-3xy-7y^2=0`...
1087 просмотров
10 января
2. Нелинейные системы уравнений
В отличие от систем линейных уравнений общих методов решения нет. Системы, в которых одно из уравнений линейное, а второе нелинейное, как правило, решаются следующим образом. Из линейного уравнения одна из переменных выражается через другую и подставля...
1012 просмотров
10 января
1. Системы линейных уравнений
Их вы подробно изучали в 7 классе и они не вызывают существенных сложностей, так как всегда могут быть решены, например, подстановкой. Остановимся немного подробнее на геометрической интерпретации. Пусть дана система
a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2.\left\...
725 просмотров
10 января
§1. Иррациональные уравнения
Уравнение называют иррациональным,
если оно содержит переменное выражение под знаком корня.
Напомним, что квадратный корень из `f(x)`, т. е. `sqrt(f(x))`, определён лишь для тех значений `x`, для которых `f(x)>=0`...
1 комментарий
3416 просмотров
19 ноября 2017 г.
§4. Построение графиков функций
График квадратичной функции `y=ax^2+bx+c` (где `a!=0`) - парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаётся формулой `x_B=-b/(2a)`. Если `a>0`, то ветви параболы направлены вверх, если `a<0` - вниз.
Если дискриминант квадратного трёхчл...
3947 просмотров
19 ноября 2017 г.
§3. Неравенства с модулем
Простейшие неравенства решаются с помощью свойств модуля.
Пример 5
Решите неравенство:
а) `|x-2|>=-1`;
б) `|x-4|<-2`;
в) `|1-x|<=4`;
г) `|3+x|>5`.
Решение
а) `|x-2|>=-1` - верно для в...
1582 просмотра
18 ноября 2017 г.
§2. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
Напомним, что дробь называют рациональной, если она представляет собой отношение многочленов (например, `(2x-1)/(x^2+3)`, `(5x^3)/(1-x)` и т. д.). Если обе части неравенства являются суммами рациональных дробей и многочленов, то такие неравенства наз...
2340 просмотров
14 ноября 2017 г.
§1. Свойства модуля. Уравнения с модулем
Напомним определение модуля числа:
\[ |a| = \left\{ \begin{aligned} a \text{, если } & a \ge 0, \\ -a \text{, если } & a < 0 \end{aligned} \right. \]
Отметим следующие свойства модуля, вытекающие непосредственно из определения.
...
2706 просмотров
13 октября 2017 г.
§3. Многочлены
Многочленом с одной переменной называется выражение вида
`P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) +a_(n-2) x^(n-2) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`. (8)
Числа `a_0`, `a_1`, `...`, `a_n` - э...
2303 просмотра
11 октября 2017 г.
&1. Введение
Вспомним некоторые понятия и определения, изученные вами в восьмом классе.
Число aa называется решением (или корнем) уравнения, если при его подстановке в уравнение вместо неизвестной уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение –...
985 просмотров
Сообщение отправлено!
Сообщение не отправлено. Проверьте правильность введёных данных.
Математика
Физика
Физика
Математика
Математика
Математика
